EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los arboles o nudos en sogas.
El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,...,n} de los números naturales. Estos cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...
Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (Por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
b) |n| = 12
Conjunto de los números enteros Z.
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el cero (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
El conjunto de los números enteros contiene a los siguientes subconjuntos:
1). Enteros positivos (Z+).Se representa con Z+.Lo componen los enteros que tienen signos positivo (+).
Z+=(+1,+2,+3,+4,.....) = (1,2,3,4,....)
2).Enteros negativos (Z-). Se representa con Z-. Lo componen los enteros que tienen signo negativo (-).
Z- = (...., -4, -3, -2, -1)
3). Números naturales. Está constituido por los enteros positivos y el cero.
N+= (0, 1, 2, 3, 4,.....)
4). Enteros positivos y negativos sin el cero. Está compuesto por todos los enteros excepto el cero.
Z*= (....., -3, -2, -1, 1, 2, 3,....)
Valor absoluto de un número entero.
Geométricamente,el valor absoluto de un número a es la distancia que hay desde el cero (0) hasta ese número.Se denota como |a|.
Definición: Por ejemplo:
|a|= a, si a > 0. |8| = 8
|a|= -a, si a < 0. |-2| = - (-2)= 2
|a|= 0, si a = 0. |0| = 0
Ejemplo:
Si una isla comienza a emerger a -5m de profundidad, ¿qué distancia hay desde allí hasta el nivel del mar?
Procedimiento:
Se halla el valor absoluto de -5. Para ello se mide los espacios entre -5 y 0.
|-5| = 5
Respuesta: la distancia que hay entre el suelo donde emerge la isla y el nivel del mar es de 5 m.
Representación gráfica en la recta numérica.
Ecuaciones con valor absoluto:
Una ecuación con valor absoluto es una igualdad en la que se desconoce un término llamado incógnita, el cual está expresado como un valor absoluto. Estas ecuaciones siempre tienen dos soluciones
Ejemplo: si |x| = 10, ¿cuánto vale x?
Procedimiento:
Se buscan los números que satisfacen la igualdad.
Como |10| = 10 y |-10| = 10.
Entonces x = 10 o x = -10
Actividad:
Determina el valor o los valores de la incógnita en cada caso.
a) |-x| = 25
Solución: |-25| = - (-25) = 25
b) |n| = 12
Solución: |12| = 12
Operaciones en Z.
Adición,sustracción,multiplicación y división en Z.
Para efectuar operaciones en el conjunto de los números enteros,se aplica la regla de los signos correspondiente.A continuación se muestra la regla para cada operación:
Adición: Regla de los signos para todo a y b Ejemplos: ϵ a Z.
a).(-2)+(-5) = -(2+5) = -7 (-a)+(-b) = - (a+b)
b).(+16)+ (+12) = +(16+12) = 28 (+a) + (+b) = + (a+b)
c).(+25) +(-3) = +(25-3) = 22 si |a| > |-b|, entonces
(+a) + (-b) = + (a-b)
d) (-32) + (+4) = - (32-4) = -28 si |-a| > |b|,entonces
(-a) + (+b) = - (a-b)
Sustracción:
Ejemplos:
a).(-6) - (+3) = (-6) + (-3) = -9 a-b = a + (-b)
b).12-(-5) = (+12) + (+5) =+17 a- (-b) = a + (+b)
Multiplicación:
Ejemplos:
a).(+3) . (+5) = +15 (+a) .(+b) = +(a.b)
b).(-5) . (+1) = -5 (-a) . (+b) = -(a.b)
c).(+35) . (-2) = -70 (+a) . (-b) = -(a.b)
d).(-10) . (-4) = +40 (-a) . (-b) = +(a.b)
División:
Ejemplos:
a).(+25) / (+5) = 5 (+a) / (+b) = +(a/b)
b).(-150) / (-1) = 150 (-a) / (-b) = + (a/b)
c).(+26) / (-13) = -2 (+a) / (-b) = - (a/b)
d).(-100) / (+4) = -25 (-a) / (+b) = - (a/b)
Actividades:
Efectúa cada operación:
a).26 - (-227) = 26 + 227 = 253.
b).47 + (-123) = 47 - 123 = - 76.
c).( - 256) / 32 = - 8.
d).(-16) . (-11) = 176.
e).16 . (-25+4) = 16 .(-21) = -336.
Propiedades de la adición en Z.
1).Propiedad conmutativa: si a y b ϵ Z , entonces a+b = b+a
Ejemplo: (-12) + 36 = 24 = 36 + (-12) = 24
2).Propiedad asociativa: si a , b y c ϵ Z , entonces a+b+c = (a+b) + c = a +(b+c).
Ejemplo: (36 +10) + 15 = 36 + (10 + 15)
46+15 = 36 + 25
61 = 61
3). Elemento neutro: si a ϵ Z, entonces a + 0 = a y 0 + a = a
0 (cero) es el elemento neutro de la adición.
Ejemplo: 80 + 0 = 80
4). Elemento opuesto: sea a ϵ Z, se tiene que -a es el opuesto de a pues a + (-a) = 0 y (-a ) + a = 0
Ejemplo: 15 + (-15) = 0 y (-15) + 15 = 0
Propiedades de la multiplicación en Z.
1). Propiedad conmutativa: si a y b ϵ Z, entonces a . b = b . a
Ejemplo: 5 . 6 = 6 . 5
30 = 30
2). Propiedad asociativa: si a, b y c ϵ Z , entonces: ( a.b) . c = a. (b.c)
Ejemplo: (15.6) . 2 = 15 . (6.2)
90 . 2 = 15 . 12
180 = 180
3). Elemento neutro: para todo entero a , se cumple que: a . 1 = a
Ejemplo: 10 . 1 = 10
4). Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:
Si a , b y c son números enteros, entonces a . (b + c) = a . b + a . c
Ejemplo: 52 . ( 120 + 40) = 52 . 120 + 52 . 40
52 . 160 = 6240 + 2080
8320 = 8320
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